刚进入中学的孩子可能都有这样的经历狗子28平台，数学老师说不要再用小学生那种带有刻度的直尺了，每个人都要准备一副三角板：无论材质如何，其中一个是两个锐角均为45°的等腰直角三角形，另一个是锐角分别为30°和60°的直角三角形，任何一家文具店都有出售。至于为什么，老师没有讲，也没有人追问过，直到今天似乎还没见到有什么人给出有说服力的理由。

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柏拉图没有给第五种立体命名，也没有为它指定对应的元素。亚里士多德继承了柏拉图的几何―元素学说，明确指出土、水、气、火属于地上元素，因其自身性质占据不同的天然位置，沿着直线运动，不断变化着并构成人类能够感知的世界；此外，还有一种超凡脱俗的天上元素，构成天体与星空。这种天上元素不生不灭，没有重量，没有冷热与干湿变化，沿着圆周运动。亚里士多德将它称为以太。亚里士多德又将四种两两对立的性质赋予地上元素，即冷与热、干与湿，认为它们才体现了世界的本原，不同的元素正是由这些性质按不同比例组合而成的：火是热加干，气是热加湿，水是冷加湿，土是冷加干。

当然可以做出多种解释，比方说能够方便地作垂线、平行线，画直角和一些特殊角，有助于记忆特殊角的三角函数，等等，不过细究下来都不能令人满意。不同于后世的工匠与画师，古希腊人在作图中只允许使用没有刻度的直尺与圆规。在他们那里，尺规作图是一种与欧几里得（约公元前325―公元前265）公理体系高度匹配的思想操练。为什么全世界学习几何学的学生，需要这样一种貌似反欧几里得传统的“标配”呢？

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读了柏拉图的《蒂迈欧篇》，这一疑问或许可以解开。原来，这两种特殊的直角三角形，正是柏拉图展开其宇宙构造图景的基础，其思想源头可以追溯到认为“万物皆数”的毕达哥拉斯（约公元前570―约公元前495）那里去。因为《蒂迈欧篇》是柏拉图阐述其宇宙观的代表作，书中提到的这两种特殊直角三角形就被赋予了超凡脱俗的意义。

回过头来说亚里士多德。公元前336年，亚历山大在马其顿继承王位后，亚里士多德回到雅典，在城东郊外一个叫吕克昂的地方建立了自己的学院，由于喜欢和弟子们一边散步一边讨论问题，他们被人称作“漫步哲学家”或“逍遥学派”。亚里士多德没有回到柏拉图创建的学院而另立门户，一是他与学院的掌门人观念不合，二是随着马其顿在雅典和整个希腊世界的地位日隆，慕名前来向他学习的青年越来越多，而城中已容不下他这个外乡人新开道场。

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五种正多面体及其对应的五大元素。

柏拉图于公元前347年去世，亚里士多德也离开了学院，那一年他37岁。公元前342年，亚里士多德回到家乡色雷斯，不久成为马其顿王子的教师，这个王子就是后来的亚历山大大帝，一道学习的贵族子弟中还有后来成为托勒密王朝建立者的托勒密一世（约公元前367―公元前282）。亚历山大征战的结果大大促进了环地中海地区与亚非大陆的文明交流，开启了希腊化时代科学繁荣的新篇章，他的部将在埃及建立的托勒密王朝延续了希腊古典文明的香火，其首都亚历山大里亚（遗址在今埃及首都开罗西北方的地中海南岸）成为雅典之后西方最重要的科学文化中心。

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19世纪中叶，数理逻辑发展起来之后，人们对数学与逻辑的关系才有了更深刻的认识。亚里士多德与柏拉图的最大区别在于：后者认为数学是属于理念世界的，高于和先于逻辑；而亚里士多德坚持认为数学的抽象概念来自实物的属性，逻辑不仅独立和优先于数学，而且能应用于一切推理。亚里士多德关于逻辑学的著作共有六篇，即《范畴篇》《解释篇》《前分析篇》《后分析篇》《论题篇》和《辩谬篇》，公元1世纪被人整理统编，总称为《工具论》。

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欧几里得生平不详，可以确定的只是他生活在公元前300年左右的亚历山大里亚，他的《几何原本》汇集了前人的许多成果，如柏拉图学院的泰阿泰德（约公元前417―约公元前369）、欧多克斯（公元前408―公元前355）等人的工作。然而《几何原本》的伟大不在于记录了多少个几何学定理与推论，而是把这些纷杂繁复的内容整理安排在一个逻辑严整的公理体系之中。《几何原本》出现的时间距亚里士多德完善逻辑学体系不到半个世纪，欧几里得的工作受到亚里士多德的影响是毋庸置疑的。

阿皮亚努斯书中的插图（左）和开普勒书中的插图。

将柏拉图学派珍视的几何学说与古代爱奥尼亚学派的元素学说结合起来，展开世界生成与变化的图景，可以说是《蒂迈欧篇》中最精彩的内容。书中提到构成世界的四大元素对应四种正多面体：火对应正四面体，土对应正六面体，气对应正八面体，水对应正二十面体；又将不同的物理属性赋予这些元素或立体，如火（与正四面体）对应小、轻、热、尖锐，水（与正二十面体）对应大、圆、柔、流动，土（与正六面体）对应重、稳、冷、坚硬，气（与正八面体）居于火、水之间，以此来解说地上万物的生成与变化。

杨振宁对此进一步评论道：“希腊人发现了五种规则立体，它们是高度对称的。这使某些权威认为，欧几里得汇编《几何原本》实际上就是为了证明这五种规则立体是仅有的规则立体。尽管这一理论可能正确，也可能不正确，但是我们的确知道，希腊人因这个发现，甚至于把宇宙结构的基本元素与这五种对称的立体联系起来。”说得更直白一些，如果这一论点成立，不啻说欧几里得汇编《几何原本》的最终目标，就是为柏拉图的宇宙图景提供一个坚实的数学基础。

还有亚里士多德和柏拉图，一人手持《蒂迈欧篇》狗子28平台，一人手持《伦理学》，一群哲学家围在他们周围。而那些正用六分仪描绘着各种图案的占星家和几何学家更是具有不可言喻的美。……还有一个人蹲在地上，手握圆规，正在一块木板上画着什么。——瓦萨里《意大利艺苑名人传》

除了经典的三段论与反证法的精确表述之外，亚里士多德逻辑学与数学关系密切的还有以下一些方面：①明确定义必须用具有确定意义的存在物来表述；②指出定义了的东西是否存在需要证明；③区分公理与公设，强调越少越好，只要足够证明所有结果（类似于现代公理体系的独立性和完备性）；④通过点和线的关系讨论连续问题，认为算术先于几何；⑤区分潜无穷和实无穷；⑥阐述矛盾律和排中律对数学证明的意义。

《雅典学院》（局部）。

版本：湖南科学技术出版社

因而元素之间可以相互转化，如把水加热，内中的冷被热取代就变成了气；火上浇水，干被湿取代也变成了气。后来经过众多学者的评注和解说，五种元素对应五种正多面体，以及宇宙组成与变化的思想，成了希腊古典时代自然哲学和宇宙论的一个重要理论模型。

本文经出版社授权刊发。原文作者：刘钝；整合：何也；编辑：王铭博；校对：刘军。未经新京报书面授权不得转载，欢迎转发至朋友圈。

百科全书式学者

作者：刘钝

柏拉图是怎样用几何学

展示其宇宙构造图景的？

大约两千年后，一位中国皇帝在学习几何学时产生了类似想法，结果却大相径庭。从1689年年底开始，康熙皇帝（1654―1722）开始向法国传教士学习几何，后者先以欧几里得《几何原本》为教材，刚讲了几次就被康熙叫停，要求他们在尽可能短的时间内讲述欧洲最实用、最新鲜的几何学。传教士们心领神会，于是改用法国耶稣会数学家的《实用和理论几何学》作教本。就这样，明末就传入中国的欧几里得《几何原本》（前六卷），逐渐为巴蒂（1636―1673）系统的《几何原本》替代；后者与欧几里得的最大区别，就是忽略或极大简化了公理体系的作用，而增加了立体求积、绘图、测量等实用内容，而欧几里得的完整中译直到1865年才在中国出现。

画中的柏拉图右手指向天空，左手拿着一本书，从书脊上可以看出那是他的著名对话录《蒂迈欧篇》。书中借助一个名叫蒂迈欧的人，提出“巨匠造物主”的概念，讲述了造物主借助几何学“创造万物和这个宇宙的根据”，两种特殊的直角三角形则是构造完美几何形体的基础。

梵蒂冈宫教皇签字厅北面和东面墙上壁画。

在此前举办的《格致丹青》新书发布会上，《格致丹青》作者、中国科学院自然科学史研究所原所长刘钝，清华大学科学史系主任、清华大学科学博物馆馆长吴国盛，中国科学院自然科学史研究所研究员、华东师范大学紫江讲座教授方在庆，清华大学科学史系副教授、科学博物馆学术部负责人王哲然等参与了对该书的分享和讨论，围绕科学主题艺术作品的史学价值、科学著作中图像的叙事功能、科学与艺术的相互影响等议题各抒己见。

亚里士多德的父亲是马其顿国王的御医，他自幼受到良好教育，18岁那年被送到雅典跟随柏拉图学习，在柏拉图的众多弟子中表现优异，被人称为“学院之灵”。但是他并不盲从权威，经常与老师争辩，“吾爱吾师，吾更爱真理”的名言就出自亚里士多德。针对柏拉图提出的“理念论”，他提出实体才是纯粹之存在的“实体说”，拉斐尔画中两位大师的手形就暗示了这一点。亚里士多德拿着他的《尼各马可伦理学》并向大地示意，代表他对现实存在的关注。英国哲学家罗素说：“西方的思辨伦理无论在什么方面兴旺发达，其背后都徘徊着柏拉图和亚里士多德的影子。”

原文作者｜彭勇 潘岳

蒂迈欧接着说，4个等腰直角三角形可以构成一个正方形，6个正方形的面可以围成一个正六面体即立方体；2个第二类直角三角形可以构成一个正三角形，而4个、8个、20个正三角形可以分别围成一个正四面体、正八面体和正二十面体。

法国查尔斯·拉普兰特的插图版画，《亚里士多德教导青年亚历山大》（1866）。

《雅典学院》是意大利文艺复兴时期画家拉斐尔·桑西于1510—1511年创作的一幅湿壁画作品，这幅画现收藏于意大利梵蒂冈博物馆。画作以柏拉图创办雅典学院的历史事件为题材。画面描绘了57位学者名人，分为11个群组。画面中心是柏拉图和亚里士多德，柏拉图手指向天，象征理念世界；亚里士多德手掌向地，象征经验世界。其他人物包括苏格拉底、毕达哥拉斯、欧几里得、托勒密等。

亚里士多德是古代世界的百科全书式学者，几乎对当时的每门知识（或学科）都做出了贡献，其著作涉及伦理学、心理学、经济学、政治学、修辞学、教育学、诗学、美学、法学、神学、形而上学等；对自然的研究则包括我们今日称为物理学、天文学、动物学、解剖学、地理学、地质学和气象学等诸多门类的知识。他似乎没有专门的数学著作，甚至对柏拉图及其嫡传弟子过分强调数学的抽象性有些反感；不过他做出了一个对数学发展极为重要的贡献，那就是逻辑学理论的建构。尽管在他之前，柏拉图等人都曾讨论过逻辑问题，但都是些零散的论述，正是亚里士多德建立起了系统的形式逻辑理论体系，从他生前到中世纪拉丁和伊斯兰世界，一直到近代科学诞生之后的17、18世纪，亚里士多德的形式逻辑一直是演绎推理的基础。

有一个关于托勒密一世与欧几里得的传说，说的是托勒密一世希望知道有无学习几何学的捷径，欧几里得回答道：“陛下，几何学中无王者之路。”年轻时亲承亚里士多德教诲的托勒密一世想必了解这个回答的深意：欧几里得几何学是建立在一套公理体系基础上的演绎结果，不透彻了解其根基就无法欣赏它的宏大与壮美。

《格致丹青：美术作品中的科学与文化》一书创新性地采用了“图像叙事”的新颖视角，借助美术作品作为史学研究的载体，重新审视科学与艺术、历史与文化之间的深刻联系。该书叙事的主线是人类文明中的科学、技术的发展，大致按时间顺序依次呈现古希腊、中世纪欧洲、地理大发现、文艺复兴、科学革命、启蒙运动、工业革命乃至当代中国的演进脉络。画作涵盖神话、史诗、历史、考古、哲学、人生、运动、生命、疾病、身体、宗教，涉及商业与资本、战争与和平、阴谋与爱情、罪恶与神圣、时间与永恒、望远镜与蒸汽机等。

大约公元前387年，柏拉图从非洲和意大利半岛游学回来，在雅典城外西北方向的阿卡德米创办了一所学院，成为早期西方最著名的高等学府，后世的学术机构如研究院、科学院就由“阿卡德米”这个地方得名。据说在学院的入口处有一块牌子，上面写着“不懂几何者不得入内”的警句，可见几何学（在古希腊与后世一段相当长的时间里通指数学）在柏拉图及其追随者们心目中的地位。

《雅典学院》的场景设置在一座宏伟建筑内的数道拱门之间，很像是圣彼得大教堂的某个翼廊；不过当时大教堂尚未建成，拉斐尔很可能参考过布拉曼特的设计图。第二道拱门的两边各有一尊大理石雕像，分别是光明与艺术之神阿波罗和智慧女神雅典娜。群像的中心是柏拉图和亚里士多德，前者的原型是拉斐尔崇敬的前辈大师达·芬奇（1452―1519）。

现在让我们离开中学生的“标配”三角板，来看柏拉图是怎样用几何学展示其宇宙构造图景的。据说他或他的学派已经知道只有五种（凸的）正多面体并给出了证明，这正是欧几里得《几何原本》最后一个命题（卷13命题18）的推论。这一事实令某些人“鼓吹这样一种观点，即由希腊人创立并在欧几里得的《几何原本》中奉为圣典的几何学演绎体系的主要目的就是要构成这五个正立体”。

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书中又提到“还有第五个立体，造物主用它来作为整体的模型”，但是没有言及这种立体的形状。考虑到柏拉图学派已经知道只有五种正多面体，一般人认为这里的“第五个”指具有12个正五边形面的正十二面体。《蒂迈欧篇》兰博英译本对此注释道：“神如何‘用它’是含糊的：这里也许指黄道十二宫。”如果这一猜测正确，第五种立体就对应天上的元素，因为古希腊人通常以黄道十二宫代表广袤无垠的星空，这一传统可以追溯到古代巴比伦。

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亚里士多德是古代世界的

很长时间以来，柏拉图和亚里士多德阐述的宇宙生成演化图景主宰着西方数理科学的发展，一幅流传很广的宇宙构造图，出自德国学者阿皮亚努斯（1495―1552）的《宇宙志》（1524）。当时哥白尼的《天球运行论》（1543）还没有出版，这幅图给出的宇宙模型是建立在亚里士多德―托勒密地心说基础上的，其中也可看到《蒂迈欧篇》的影响。图的中心可见几块土地，上面依稀可辨树木、村庄等景物，代表构成地球的主要成分土元素，环绕大地的是对应水元素的海洋，外面布满云朵的一圈对应气元素，再外一圈对应的是火元素，至此都是人间世界，自下而上由土、水、气、火这四种元素构成；火上的同心圆依次为月亮、水星、金星、火星、木星、土星与恒星圈，月上世界是纯净永恒的星空，由天上元素以太构成。

广为人知的开普勒（1571―1630）构想的宇宙模型，发表在《宇宙的神秘》（1596）一书中：他已经抛弃了地心说，设想地球和五大行星的轨道分别位于大小不等的6个球面上，从里到外按照正八面体、正二十面体、正十二面体、正四面体、正六面体的顺序依次套切，太阳居中心。

《雅典学院》取材于柏拉图公元前387年创立雅典学院的典故，画面中心是柏拉图和亚里士多德，柏拉图手指向天，象征理念世界；亚里士多德手掌向地，象征经验世界。其中，柏拉图手中的《蒂迈欧篇》中提到的两种特殊直角三角形，被其赋予了超凡脱俗的意义。

本文选自《格致丹青》中对《雅典学院》这幅名作解读（部分内容），文中所用插图均来自该书。已获得出版社授权刊发。

书中的蒂迈欧说道：“首先这一点是大家都会认同的狗子28平台，即水、火、土、气都是立体。一切立体都有厚度，并被许多面包围。由直线所围的面乃由三角形构成；所有的三角形都可以归到两种直角三角形中。”“归结起来，它们是：一种是等腰的；一种是其长边的平方四倍于短边的平方。”